(你不能不知道)
學習數學的關鍵:了解『解析解與數值解』
以前經常看到有文章提到解析解、數值解，於是怒查一發，總結至此。
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解析解
解析解，又稱為閉式解，是可以用解析表達式來表達的解。 在數學上，如果一個方程或者方程組存在的某些解，是由有限次常見運算的組合給出的形式，則稱該方程存在解析解。二次方程的根就是一個解析解的典型例子。在低年級數學的教學當中，解析解也被稱為公式解。
當解析解不存在時，比如五次以及更高次的代數方程，則該方程只能用數值分析的方法求解近似值。大多數偏微分方程，尤其是非線性偏微分方程，都只有數值解。
解析表達式的準確含義依賴於何種運算稱為常見運算或常見函數。傳統上，只有初等函數被看作常見函數（由於初等函數的運算總是獲得初等函數，因此初等函數的運算集合具有閉包性質，所以又稱此種解為閉式解），無窮級數、序列的極限、連分數等都不被看作常見函數。按這種定義，許多累積分佈函數無法寫成解析表達式。但如果把特殊函數，比如誤差函數或gamma函數也看作常見函數，則累積分佈函數可以寫成解析表達式。
在計算機應用中，這些特殊函數因為大多有現成的數值法實現，它們通常被看作常見運算或常見函數。實際上，在計算機的計算過程中，多數基本函數都是用數值法計算的，所以所謂的基本函數和特殊函數對計算機而言並無區別。
數值解
數值解，是指給出一系列對應的自變量，採用數值方法求出的解。採用的方法有限元法、數值逼近、插值法。他人只能利用數值計算的結果，而不能隨意給出自變量並求出計算值。當無法由微積分技巧求得解析解時，便只能利用數值分析的方式來求得其數值解了，數值方法變成了求解過程重要的媒介。在數值分析的過程中，首先要將原方程式加以簡化，以便後來的數值分析。例如，會先將微分符號改為差分符號等。然後用傳統的代數方法將原方程式改寫成另一方便求解的形式。這時的求解步驟就是將一獨立變量帶入，求得相依變量的近似解。因此利用此方法所求得的相依變量為一個個分離的數值，而解析解為一連續的分佈。
參考資料：
[1] wikipedia 解析解
[2] 百度百科 數值解
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